Από το «αδύνατο» √−1 στη γεωμετρία, τη φυσική και την κβαντική πραγματικότητα

Υπάρχουν αριθμοί που μετρούν μήλα, αποστάσεις, χρήματα και άστρα. Υπάρχουν όμως και αριθμοί που, όταν πρωτοεμφανίστηκαν στην ιστορία των μαθηματικών, έμοιαζαν να μην μπορούν να μετρήσουν τίποτα απολύτως.

Ήταν οι λεγόμενοι φανταστικοί αριθμοί.

Η γέννησή τους ξεκίνησε από ένα φαινομενικά αθώο ερώτημα:

Ποιος αριθμός, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει −1;

Στους πραγματικούς αριθμούς δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός. Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι θετικό και το τετράγωνο ενός αρνητικού επίσης θετικό. Έτσι, η εξίσωση φαινόταν να οδηγεί σε αδιέξοδο.

Και όμως, από αυτό το αδιέξοδο γεννήθηκε μία από τις σημαντικότερες επεκτάσεις της μαθηματικής σκέψης.

Σήμερα γράφουμε:

και ονομάζουμε φανταστική μονάδα τον αριθμό (i), για τον οποίο ισχύει:

Από αυτόν προέκυψε ολόκληρος ο κόσμος των μιγαδικών αριθμών:

όπου (a) και (b) είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η ιστορία τους, όμως, δεν είναι απλώς η ιστορία ενός μαθηματικού συμβόλου. Είναι η ιστορία μιας ιδέας που για αιώνες θεωρήθηκε σχεδόν παράλογη και τελικά αποδείχθηκε θεμελιώδης για την κατανόηση της φύσης.

Πριν από τους «φανταστικούς»

Η ιδέα της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού δεν εμφανίστηκε ξαφνικά στην Αναγέννηση.

Ήδη ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, περίπου τον 1ο αιώνα μ.Χ., συνδέεται με έναν από τους παλαιότερους γνωστούς υπολογισμούς που περιλαμβάνουν τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. Ωστόσο, δεν πρόκειται ακόμη για μια θεωρία φανταστικών αριθμών με τη σύγχρονη έννοια.

Οι αρχαίοι Έλληνες αντιμετώπιζαν τα μαθηματικά κυρίως μέσα από τη γεωμετρία. Η έννοια του αριθμού ήταν στενά συνδεδεμένη με το μήκος, το μέγεθος και τη γεωμετρική κατασκευή.

Το

επομένως, δεν είχε προφανή γεωμετρική σημασία.

Δεν υπήρχε μήκος που να αντιστοιχεί σε αυτό.

Δεν υπήρχε ευθεία πάνω στην οποία μπορούσε να τοποθετηθεί.

Δεν υπήρχε, φαινομενικά, χώρος για να υπάρξει.

Και αυτό ήταν το πρώτο μεγάλο πρόβλημα.

Η Αναγέννηση και το παράδοξο της κυβικής εξίσωσης

Η πραγματική ιστορία των φανταστικών αριθμών αρχίζει τον 16ο αιώνα, όταν οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί προσπαθούσαν να λύσουν κυβικές εξισώσεις.

Οι μαθηματικοί Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia και Gerolamo Cardano ανέπτυξαν μεθόδους για την επίλυση κυβικών εξισώσεων. Ο Cardano δημοσίευσε το 1545 το περίφημο έργο του Ars Magna, μέσα στο οποίο εμφανίζονται ποσότητες που σήμερα θα αναγνωρίζαμε ως σχετικές με μιγαδικούς αριθμούς.

Και εδώ εμφανίστηκε ένα παράξενο μαθηματικό φαινόμενο.

Ας πάρουμε την εξίσωση:

Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι: x=4

είναι λύση, αφού:

και

Όταν όμως εφαρμόσει κανείς τον τύπο του Cardano, η λύση παίρνει τη μορφή:

Και εδώ εμφανίζεται το παράδοξο.

Η εξίσωση έχει πραγματική λύση, το (4), αλλά ο τύπος που χρησιμοποιούμε για να τη βρούμε μας αναγκάζει να περάσουμε μέσα από τη

Με άλλα λόγια:

για να φτάσουμε σε έναν πραγματικό αριθμό, έπρεπε να περάσουμε μέσα από έναν αριθμό που θεωρούνταν μη πραγματικός.

Η μαθηματική ιστορία είχε πλέον ανοίξει μια πόρτα που κανείς δεν ήξερε ακόμη πού οδηγούσε.

Ο Rafael Bombelli και η πρώτη πραγματική «γέννηση»

Εδώ εμφανίζεται μία από τις σημαντικότερες μορφές στην ιστορία των μιγαδικών αριθμών:

Rafael Bombelli (1526–1572).

Ο Ιταλός μαθηματικός κατάλαβε κάτι που οι προκάτοχοί του δεν είχαν καταφέρει να δουν καθαρά.

Ίσως το πρόβλημα δεν ήταν οι παράξενοι αριθμοί.

Ίσως το πρόβλημα ήταν ότι δεν ξέραμε ακόμη πώς να τους χειριστούμε.

Στο έργο του L’Algebra, που δημοσιεύθηκε το 1572, ο Bombelli συστηματοποίησε κανόνες για τον υπολογισμό με αυτές τις παράξενες ποσότητες. Η Treccani τον θεωρεί καθοριστική μορφή για την εισαγωγή των φανταστικών και μιγαδικών αριθμών και για τη διατύπωση των κανόνων των πράξεών τους. (Treccani)

Για τον Bombelli, η έκφραση

δεν έπρεπε πλέον απλώς να απορρίπτεται.

Έπρεπε να υπολογίζεται.

Στην επίλυση της προηγούμενης κυβικής εξίσωσης, η περίεργη έκφραση μπορεί να γραφτεί ως:

Και τότε προκύπτουν οι ποσότητες:

και

Ο Bombelli διαπίστωσε ότι μπορούν να συνδυαστούν έτσι ώστε τελικά να δώσουν:

Το φανταστικό είχε λειτουργήσει ως γέφυρα προς το πραγματικό.

Ήταν μια βαθιά ανατροπή.

Το «ανύπαρκτο» δεν ήταν απλώς ανεκτό. Ήταν απαραίτητο για να φτάσουμε στο πραγματικό αποτέλεσμα.

Γιατί ονομάστηκαν «φανταστικοί»;

Η ονομασία είναι σχεδόν ειρωνική.

Ο René Descartes χρησιμοποίησε τον όρο imaginary τον 17ο αιώνα για ποσότητες που θεωρούνταν προβληματικές ή μη πραγματικές. Η λέξη έμεινε. Έτσι, δημιουργήθηκε μια ιστορική αντίφαση:

οι «φανταστικοί» αριθμοί ονομάστηκαν έτσι επειδή θεωρήθηκαν λιγότερο πραγματικοί από τους πραγματικούς, αλλά σήμερα χρησιμοποιούνται σε περιγραφές της πραγματικής φύσης.

Η ονομασία, επομένως, είναι περισσότερο ένα απολίθωμα της μαθηματικής ιστορίας παρά μια καλή περιγραφή της φύσης τους.

Ο Euler και η εμφάνιση του (i)

Κατά τον 18ο αιώνα, οι φανταστικοί αριθμοί άρχισαν να αποκτούν πιο σταθερή θέση στα μαθηματικά.

Καθοριστική ήταν η συμβολή του Leonhard Euler (1707–1783).

Ο Euler καθιέρωσε τη χρήση του συμβόλου i.

Αυτό το μικρό γράμμα θα γινόταν ένα από τα πιο διάσημα σύμβολα ολόκληρης της μαθηματικής επιστήμης.

Αλλά ο Euler έκανε κάτι ακόμη πιο σημαντικό.

Συνέδεσε τους μιγαδικούς αριθμούς με την εκθετική συνάρτηση και την τριγωνομετρία:

Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως τύπος του Euler.

Ξαφνικά, το (i) δεν ήταν πλέον μια παράξενη αλγεβρική ποσότητα. Συνδεόταν με γωνίες, κύκλους και περιστροφές.

Και τότε οι φανταστικοί αριθμοί άρχισαν να αποκτούν γεωμετρική ζωή.

Η μεγάλη αποκάλυψη: το (i) ως περιστροφή

Το (i) μπορεί επομένως να ιδωθεί γεωμετρικά ως περιστροφή κατά 90° στο μιγαδικό επίπεδο.

Αυτό αλλάζει ριζικά τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε το «φανταστικό».

Το (i) δεν χρειάζεται πλέον να θεωρείται ένα μυστηριώδες αντικείμενο που κρύβεται πίσω από μια τετραγωνική ρίζα.

Μπορούμε να το δούμε ως γεωμετρική πράξη.

Ο Gauss και η νομιμοποίηση των μιγαδικών αριθμών

Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Carl Friedrich Gauss έπαιξε σημαντικό ρόλο στην καθιέρωση της γεωμετρικής και αλγεβρικής κατανόησης των μιγαδικών αριθμών. Η ιστορική εξέλιξη δεν ήταν έργο ενός μόνο μαθηματικού, αλλά ο Gauss συνέβαλε αποφασιστικά στο να αντιμετωπιστούν οι μιγαδικοί ως πλήρες μαθηματικό αντικείμενο. (Βικιπαίδεια)

Η εικόνα πλέον ήταν καθαρή:

δεν ήταν ένας «μισός» αριθμός.

Ήταν ένας αριθμός με δύο συνιστώσες. Η μία βρισκόταν στον πραγματικό άξονα. Η άλλη στον φανταστικό. Και μαζί σχημάτιζαν ένα σημείο σε ένα νέο μαθηματικό επίπεδο. Το μιγαδικό επίπεδο.

Από το «φανταστικό» στο «μιγαδικό»

Σήμερα προτιμούμε τον όρο μιγαδικοί αριθμοί. Oι πραγματικοί αριθμοί δεν εξαφανίζονται μέσα στους μιγαδικούς. Αντίθετα, αποτελούν υποσύνολό τους. Ο κόσμος των αριθμών απλώς έγινε μεγαλύτερος. Αυτό είναι ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο στην ιστορία των μαθηματικών. Οι φυσικοί αριθμοί επεκτάθηκαν στους ακέραιους. Οι ακέραιοι στους ρητούς. Οι ρητοί στους πραγματικούς. Και οι πραγματικοί στους μιγαδικούς.

Κάθε φορά, η παλαιότερη έννοια δεν καταστρέφεται. Ενσωματώνεται σε ένα ευρύτερο σύστημα.

Η εκπληκτική ταυτότητα του Euler

Και εδώ η ιστορία φτάνει σε μία από τις πιο διάσημες εξισώσεις των μαθηματικών:

Η λεγόμενη ταυτότητα του Euler συνδέει σε μία μόνο σχέση πέντε θεμελιώδεις μαθηματικές σταθερές:

Ο εκθετικός αριθμός.

Η φανταστική μονάδα.

Ο αριθμός π.

Η μονάδα.

Το μηδέν.

Πέντε έννοιες που μοιάζουν να προέρχονται από διαφορετικές περιοχές των μαθηματικών συναντώνται σε μία γραμμή.

Και η βαθύτερη προέλευση βρίσκεται στον τύπο:

Το φανταστικό και το πραγματικό δεν είναι πλέον δύο ξεχωριστοί κόσμοι.

Είναι δύο όψεις της ίδιας μαθηματικής δομής.

Οι φανταστικοί αριθμοί εισέρχονται στη φυσική

Το πιο παράξενο κεφάλαιο της ιστορίας είναι ίσως αυτό:

οι αριθμοί που κάποτε θεωρούνταν «φανταστικοί» αποδείχθηκαν εξαιρετικά χρήσιμοι για την περιγραφή πραγματικών φυσικών φαινομένων. Στην ηλεκτρολογία χρησιμοποιούνται για την περιγραφή εναλλασσόμενων ρευμάτων. Στην ανάλυση κυμάτων χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ταλαντώσεις και φάσεις. Στην οπτική εμφανίζονται στη μαθηματική περιγραφή κυμάτων και συμβολής. Στην κβαντομηχανική, η κυματοσυνάρτηση είναι γενικά μιγαδική και η μιγαδική δομή βρίσκεται στον πυρήνα της μαθηματικής διατύπωσης της θεωρίας.

Αυτό δημιουργεί μια υπέροχη ιστορική ειρωνεία.

Οι μαθηματικοί του 16ου αιώνα αναρωτιούνταν αν το (\sqrt{-1}) αντιστοιχεί σε κάτι πραγματικό.

Μερικούς αιώνες αργότερα, η σύγχρονη φυσική δεν μπορούσε εύκολα να περιγραφεί χωρίς μιγαδικούς αριθμούς.

Το «φανταστικό» είχε γίνει εργαλείο για την περιγραφή της πραγματικότητας.

Γιατί λοιπόν υπάρχουν;

Υπάρχει μια βαθύτερη μαθηματική απάντηση.

Οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αρκετοί για να λύσουν όλες τις πολυωνυμικές εξισώσεις. Μάλιστα, σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές έχει τόσες ρίζες όσες υποδεικνύει ο βαθμός του, αν μετρήσουμε τις πολλαπλότητες. Οι μιγαδικοί αριθμοί, λοιπόν, δεν είναι μια διακοσμητική προσθήκη στην άλγεβρα. Κάνουν το σύστημα των αριθμών πολύ πιο πλήρες.

Μικρό χρονολόγιο

Οι ιστορικές χρονολογίες έχουν μικρές διαφοροποιήσεις ανάλογα με το αν ως «γέννηση» των μιγαδικών θεωρήσουμε την πρώτη εμφάνιση αρνητικών ριζών, την αλγεβρική χρήση τους από τον Bombelli ή τη γεωμετρική τους θεμελίωση. (Treccani)

Change is the only Constant