Change is the only Constant

Παράδοξο του Μόντι Χολ

Spread the word!

Το 1990, στο περιοδικό Parade στην Αμερική, υπήρχε μια στήλη με όνομα “Ask Marilyn”. Η Μέριλιν ντος Σάβαντ, είναι μια αμερικανίδα συγγραφέας και θεατρική παραγωγός, γνωστή για την υψηλή ευφυΐα της. Έγινε ευρύτερα γνωστή στο κοινό το 1985, όταν περιγράφηκε από το Guinness Book of World Records ως ο άνθρωπος με το υψηλότερο IQ, με σκορ 228 σύμφωνα με τεστ που είχε κάνει στην παιδική της ηλικία. Πρέπει να σημειωθεί ότι η ακρίβεια και η εγκυρότητα τέτοιων τεστ IQ έχουν αμφισβητηθεί ευρύτατα, και η ίδια η ντος Σάβαντ έχει τονίσει πως το IQ δεν είναι ολοκληρωμένη ένδειξη της νοημοσύνης ή της ικανότητας. 

Η Μέρλιν Ντος Σάβαντ απαντούσε σε ερωτήσεις αναγνωστών που κάλυπταν μια ευρεία γκάμα θεμάτων, από λογικά παζλ και μαθηματικά προβλήματα μέχρι κοινωνικά ζητήματα και συμβουλές ζωής. Η ικανότητά της να εξηγεί περίπλοκα ζητήματα με απλό και κατανοητό τρόπο την έκανε ιδιαίτερα δημοφιλή. Aναλάμβανε να απαντήσει σε ποικίλλες ερωτήσεις, προσεγγίζοντας κάθε θέμα με λογική, μαθηματική ακρίβεια και ένα βαθύ επίπεδο κατανόησης. Η στήλη της κέρδισε μεγάλη δημοτικότητα, όχι μόνο λόγω της ικανότητάς της να λύνει περίπλοκα προβλήματα, αλλά και επειδή η Μέριλιν συχνά προσέφερε ενδιαφέρουσες προοπτικές σε πιο φιλοσοφικά ή ηθικά ζητήματα.

Μία από τις πιο διάσημες στιγμές της στήλης “Ask Marilyn” ήταν όταν αντιμετώπισε το Παράδοξο του Μόντι Χολ, το οποίο της έστειλε σαν ερώτηση κάποιος Κρείγκ Φ. Ουίτακερ, από το Κολούμπια στην πολιτεία Μέριλαντ.  

Ας πάμε τώρα όμως στο παράδοξο. Το παράδοξο Μόντι Χολ πήρε το όνομα του από τον παρουσιαστή του τηλεπαιχνιδιού “Let’s Make a Deal”, και δημιουργείται μέσα από ένα παιχνίδι στο οποίο οι παιχτες καλούνται να επιλέξουν.

Στην κλασική μορφή του παραδόξου, φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι σαν το “Μεγάλο παζάρι” και σας δίνετε η επιλογή ανάμεσα σε τρία κλειστά παραβάν, πίσω από ένα εκ των οποίων βρίσκεται ένα αυτοκίνητο (το έπαθλο), ενώ πίσω από τα άλλα δύο υπάρχουν κατσίκες. Επιλέγετε λοιπόν ένα παραβάν. Στη συνέχεια, ο Μικρούτσικος, ο οποίος γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε παραβάν, ανοίγει ένα από τα δύο που δεν έχει επιλεγεί και πάντα αποκαλύπτει μια κατσίκα. Τότε δίνεται στον παίκτη η επιλογή να διατηρήσει την αρχική του επιλογή ή να αλλάξει στο άλλο παραβάν που παραμένει ακόμα κλειστό.

Οι περισσότεροι σε αυτή την περίπτωση ακολοθούντως την διαίσθηση τους θα πίστευαν οτι οι πιθανότητες είναι 50-50 αφού οι επιλογές είναι μόνο δύο μετά το άνοιγμα της πρώτης κουρτίνας.

Ας δούμε όμως τι λένε τα μαθηματικά: 

Αρχικά ας πούμε ότι επιλέγεις την κουρτίνα 1. Η πιθανότητα να επιλέξεις το αυτοκίνητο από την αρχή είναι 1/3, επειδή υπάρχουν 3 κουρτίνες και ένα αυτοκίνητο. Επίσης, η πιθανότητα να επιλέξεις κατσίκα είναι 2/3 αφού υπάρχουν 2 κατσίκες και 3 κουρτίνες. 

Όταν όμως εσύ επιλέγεις μια κουρτίνα, ο Μικρούτσικος που ξέρει που βρίσκεται το αυτοκίνητο, ανοίγει μια κουρτίνα με κατσίκα, ας πούμε την 2. Έτσι, μένουν 2 κουρτίνες, η 1 που έχεις επιλέξει εσύ και η 2, που δεν έχει ανοιχτεί ακόμα . Έπειτα, κάτι που είναι σύνηθες σε τέτοιες εκπομπές, ο Μικρούτσικος θέτει την ερώτηση αν θα ήθελες να κρατήσεις την κουρτίνα που έχεις ήδη επιλέξει ή να επιλέξεις την άλλη που παραμένει κλειστή.

Ας πούμε ότι επιλέγουμε να μην αλλάξουμε. Τότε η πιθανότητα να έχω επιλέξει το αυτοκίνητο είναι 1/3 όπως και πριν. Αν όμως επιλέξουμε να αλλάξουμε, βρισκόμαστε σε δύο διαφορετικές καταστάσεις. Η μία είναι να έχουμε το αυτοκίνητο και να αλλάξουμε κουρτίνα ώστε να καταλήξουμε με την κατσίκα και η άλλη είναι να έχουμε επιλέξει την κατσίκα και να αλλάξουμε κουρτίνα με αυτή που βρίσκεται το αυτοκίνητο. Από αυτές τις δύο καταστάσεις, η πιο πιθανή να συμβεί είναι η δεύτερη. Δηλαδή να έχουμε επιλέξει εξ αρχής την κατσίκα και να αλλάξουμε με το αυτοκίνητο αφού όπως είπαμε εξ αρχής, το να έχουμε επιλέξει κατσίκα είναι 2/3 ή 66%.  Άρα η επιλογή να αλλάξουμε κουρτίνες, σε αυτή την περίπτωση, είναι πάντα η καλύτερη επιλογή αφού αλλάζοντας κουρτίνες το ποσοστό να βρεις το αυτοκίνητο είναι 66%. 

Η αλλαγή δεν είναι μόνο η μόνη σταθερά αλλά και η καλύτερη επιλογή για να κερδίσεις. 

Η Μέριλιν λοιπόν στην ερώτηση του Κρείγκ απάντησε πως πρέπει να αλλάξετε γνώμη και να διαλέξετε την τελική πόρτα, γιατί οι πιθανότητες είναι 2/3 ότι πίσω από εκείνη την πόρτα θα υπάρχει ένα αυτοκίνητο. Η εξήγηση αυτή, προκάλεσε μεγάλη συζήτηση και αμφισβήτηση. Πολλοί αναγνώστες έσπευσαν να γράψουν στο περιοδικό και στην ίδια ότι έκανε λάθος και πολλά από αυτά τα γράμματα προέρχονταν από μαθηματικούς και επιστήμονες της εποχής. Κάποια από αυτά τις έγραφαν:

Είμαι σίγουρος ότι θα λάβατε πολλές επιστολές από μαθητές λυκείου και φοιτητές. Ίσως θα έπρεπε να κρατήσετε μερικές διευθύνσεις για να σας βοηθήσουν σε μελλοντικά σας άρθρα.” Δρ Ο. Ρόμπερτ Σμιθ, Κρατικό Πανεπιστήμιο της Τζόρτζια

Υπάρχει αρκετός μαθηματικός αναλφαβητισμός σε τούτη την χώρα και δεν χρειάζεται να τον αυξάνει ακόμα περισσότερο το άτομο με τον υψηλότερο δείκτη νοημοσύνης στον κόσμο. Ντροπή! ” Δρ Σκοτ Σμιθ, Πανεπιστήμιο της Φλόριντα

Αν όλοι αυτοί οι δόκτορες έκαναν λάθος, η χώρα μας θα βρισκόταν σε πολύ δεινή θέση. Δρ Έβερτ Χάρμαν, Αμερικανικό Ινστιτούτο Στρατιωτικών Ερευνών

Η Μεριλιν παρά την αποδεδειγμένα τεράστια ευφυία της, έπρεπε να αποδείξει ότι δεν είναι ελέφαντας σε έναν ανδροκρατούμενο επιστημονικό κόσμο. Ωστόσο, η απάντησή της αργότερα αποδείχθηκε μαθηματικά ορθή και υποστηρίχθηκε από πολλούς μαθηματικούς και επιστήμονες και η Μέριλιν ντος Σάβαντ συνέχισε να είναι μια σημαντική φωνή στον τομέα της εκπαίδευσης, της λογικής σκέψης και των μαθηματικών, προσφέροντας τις γνώσεις της σε μια πληθώρα θεμάτων μέσα από τη στήλη της και αλλά και σε άλλες δημοσιεύσεις.

Ενας τρόπος για να καταλάβουμε καλύτερα το παράδοξο, είναι να φτιάξουμε ένα διάγραμμα σαν το παρακάτω. Η πιθανότητα να έχουμε το αυτοκίνητο πίσω από κάποια κουρτίνα είναι 1/3. Όταν όμως έπειτα ο παρουσιαστής ανοίγει μια κουρτίνα προστίθενται επιπλέον πληροφορίες που πρέπει να λάβουμε υπόψιν. Αν ο παίκτης έχει προβλέψει σωστά τότε ο παρουσιαστής επιλέγει την επόμενη κουρτίνα που θα ανοίξει με μια πιθανότητα ½ αφού έχει 2 επιλογές. Ενώ όμως αν ο παίχτης δεν έχει προβλέψει σωστά ο παρουσιαστής επιλέγει την κουρτίνα που θα ανοίξει με πιθανότητα 100% αφού έχει μόνο μια επιλογή.

Εδώ έρχεται να μας λύσει τα χέρια το θέωρημα Bayes. Το Θεώρημα του Bayes προσφέρει έναν μαθηματικό τρόπο για να υπολογίσουμε την ενημερωμένη πιθανότητα ενός γεγονότος, βάσει νέων πληροφοριών ή αποδείξεων. Μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενος γεγονότος Α δεδομένου ότι συνέβη ένα γεγονός Β. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Bayes στο Παράδοξο του Μόντι Χολ, μπορούμε να δούμε πώς η πιθανότητα να κερδίσει κανείς το αυτοκίνητο αλλάζει μετά την ενέργεια του παρουσιαστή που αποκαλύπτει μια κατσίκα πίσω από ένα από τα παραβάν που δεν επέλεξε ο παίκτης.

Το θεώρημα του Bayes διατυπώνεται ως εξής:

Το παράδοξο του Μόντι Χολ αναδεικνύει τη σημασία της πληροφορίας στην αξιολόγηση πιθανοτήτων και τη λήψη αποφάσεων. Επιπλέον, υπογραμμίζει πώς οι διαισθητικές μας αντιλήψεις για τις πιθανότητες μπορούν να είναι εσφαλμένες και τονίζει την αξία της στατιστικής σκέψης στην αντιμετώπιση παρόμοιων προβλημάτων. 

Συχνά, η διαίσθησή μας μας οδηγεί σε συμπεράσματα που φαίνονται λογικά ή φυσικά, αλλά μπορεί να μην αντικατοπτρίζουν ακριβώς τις πραγματικές πιθανότητες ή τα μαθηματικά μοντέλα. Οι άνθρωποι έχουν εξελιχθεί για να σκέφτονται αιτιοκρατικά, πράγμα που ήταν πολύτιμο για την επιβίωση και τη λήψη γρήγορων αποφάσεων σε ένα αβέβαιο και εχθρικό περιβάλλον. Αυτό σημαίνει ότι αναζητούμε μοτίβα, αιτίες και αποτελέσματα, ακόμη και όταν δεν υπάρχουν, ή ακόμη και όταν η πραγματική σχέση μεταξύ δύο φαινομένων είναι πιο περίπλοκη ή ανύπαρκτη.

Στην περίπτωση του παραδόξου του Μόντι Χολ, η διαίσθηση μπορεί να μας πει ότι η επιλογή έχει 50-50 πιθανότητες μετά το άνοιγμα ενός από τα παραβάν από τον παρουσιαστή, επειδή βλέπουμε δύο επιλογές: το παραβάν που επιλέξαμε και το άλλο που παρέμεινε κλειστό. Ωστόσο, η πραγματικότητα των πιθανοτήτων, όπως δείχνει η λύση του παραδόξου, είναι διαφορετική.

Αυτό δεν σημαίνει ότι η διαίσθησή μας είναι πάντα λανθασμένη ή ότι δεν πρέπει να την εμπιστευόμαστε ποτέ, αλλά είναι σημαντικό να εξετάζουμε κριτικά τις αρχικές μας υποθέσεις και να είμαστε ανοιχτοί στο να ακολουθήσουμε τα μαθηματικά συμπεράσματα.

Η εκπαίδευση και η εξοικείωση με τις βασικές αρχές των πιθανοτήτων και της στατιστικής μπορούν να βοηθήσουν τους ανθρώπους να αναπτύξουν μια πιο ακριβή και λογική προσέγγιση σε αβέβαιες καταστάσεις. Αυτό δεν αναιρεί την αξία της αιτιοκρατικής σκέψης για την καθημερινή ζωή και τη λήψη αποφάσεων, αλλά υπογραμμίζει τη σημασία της προσαρμογής του τρόπου σκέψης μας στις απαιτήσεις κάθε κατάστασης.

Εγγραφείτε για περισσότερα!!

Change is the only Constant

Spread the word!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

two × 5 =

en_USEN